http://zzznowman.dyndns.org/~fabian/doc/own/20040308parabel.txt
v0.2 (2004-03-08 18:34)
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Gleichung einer gestreckten Parabel aus drei gegebenen Punkten
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geg.: Parabel; P1(x1/y1), P2(x2/y2), P3(x3/y3)
ges.: f(x)

  f(x) = a * x^2 + p * x + q

Aufstellung des Gleichungssystems:

  (x1)^2 * a + (x1) * p + q = y1
  (x2)^2 * a + (x2) * p + q = y2
  (x3)^2 * a + (x3) * p + q = y3

Lösung mit Hilfe von Determinanten:

       / (x1)^2  (x1)     1 \
  D  = | (x2)^2  (x2)     1 |
       \ (x3)^2  (x3)     1 /

       / (y1)    (x1)     1 \
  Da = | (y2)    (x2)     1 |
       \ (y3)    (x3)     1 /

       / (x1)^2  (y1)     1 \
  Dp = | (x2)^2  (y2)     1 |
       \ (x3)^2  (y3)     1 /

       / (x1)^2  (x1)  (y1) \
  Dq = | (x2)^2  (x2)  (y2) |
       \ (x3)^2  (x3)  (y3) /

Falls D != 0, gilt:

  a = Da / D

  p = Dp / D

  q = Dq / D

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Anmerkung: Lösung einer dreireihigen Determinante mit der Cramerschen Regel:

Man addiert die Produkte der Diagonalen von links oben nach rechts unten
und subtrahiert die Produkte der Diagonalen von rechts oben nach links unten.

Dabei denkt man sich die ersten Zeilen der Determinante rechts neu angefügt.

Hier eine nichtmathematische Veranschaulichung:

  / *1 _2 _3 \
  | _4 *5 _6 |  Dies ist die erste der addierten Diagonalen (1-5-9).
  \ _7 _8 *9 /

  / _1 _2 *3 \ _1 _2
  | _4 _5 _6 | *4 _5  Dies ist die letzte (3-4-8).
  \ _7 _8 _9 / _7 *8

  / _1 _2 *3 \
  | _4 *5 _6 |  Dies ist die erste der subtrahierten Diagonalen (7-5-3).
  \ *7 _8 _9 /

  / _1 _2 _3 \ _1 *2
  | _4 _5 _6 | *4 _5  Dies ist die letzte (9-4-2).
  \ _7 _8 *9 / _7 _8

Insgesamt erhält man:

  / a1 b1 c1 \
  | a2 b2 c2 | =   a1 * b2 * c3 + b1 * c2 * a3 + c1 * a2 * b3
  \ a3 b3 c3 /   - a3 * b2 * c1 - b3 * c2 * a1 - c3 * a2 * b1

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Copyright (C) 2004 Fabian "zzznowman" Pietsch <fabian@zzznowman.dyndns.org>
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